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第一百二十九章:数学家的前仆后继

这里的建筑和陆沉想象中完全不同——不是宏伟的殿堂,而是一组掩映在古树间的低矮红砖楼。

几栋楼围着一个安静的庭院,二月树叶落尽了,光秃秃的橡树和枫树把枝条伸向铅灰色的天空,地上铺着去年秋天留下的落叶,被雪水浸得发黑。

富尔德楼的大厅很安静,墙上挂着历届教授的黑白照片——爱因斯坦、哥德尔、冯·诺依曼、外尔、奥本海默。

他们从黑白照片里沉默地看着这个从BJ来的少年,目光穿过几十年的时光,落在同一块磨得发亮的大理石地面上。

萨纳克的办公室在二楼,窗外是一棵老橡树的枝丫,树干上有一个松鼠窝,松鼠不在家,大概是去别处觅食了。

办公室不大,但堆满了东西——书架上横七竖八地塞着论文预印本和期刊,有些纸张已经泛黄;桌面上摊着几页写了一半的手稿,旁边放着一杯冷透了的咖啡。

墙上挂着一块黑板,黑板上画着几个拉姆齐图的结构,旁边标注了谱方法的推导。

萨纳克把桌上的手稿推到一边,腾出一块空地。

他没有寒暄,没有客套,从抽屉里拿出一张纸,展开——是陆沉去年在海德堡黑板上现场构造的那个复合图问题的详细描述,霍夫曼在简报里收录的那个版本。

萨纳克在纸上用红笔做了密密麻麻的批注,像用手术刀解剖一只青蛙,每一根筋腱都被他挑出来做了记号。

“这个框架的核心,是把极值图论、代数拓扑和矩阵谱理论整合成一个统一的方法,”萨纳克指着红笔圈出的一处,“这里,你用了单纯复形的同调群来刻画极图结构,思路是对的,但你只用了同调群的维数,我一直在想——如果用同调群上的谱序列,能不能把极值估计再往前推一步?”

陆沉翻开便签本,翻到吴老画下代数拓扑·同伦群节点的那一页。

隔页上,钱学森画的蓝圈微微褪色,墨迹淡了一点,但首尾相接的那一笔仍然严丝合缝。

他把便签本放在桌上。

“萨纳克教授,同调群的谱序列我们已经开始考虑了,但有一个坎还没迈过去——把谱序列的收敛性和图兰极值结构的稳定性联系起来,需要的不是单纯的代数拓扑,还需要一个中间构造。”

萨纳克盯着那张图看了很久。

窗外橡树的枯枝被风吹得敲在窗玻璃上,发出干燥的嗒嗒声。

然后他站起来走到黑板前面,拿起粉笔画了一个圆——一个和钱学森画得几乎一模一样大的圆,但在圆的外面又加了一个更大的圈。

“你说的中间构造,我想了几个月,”他指着两个圆圈之间的环形区域,“极值组合和代数拓扑之间,缺的不是技巧,是一层膜,这层膜就是随机矩阵的谱分布,拉姆齐图在随机扰动下的特征值分布,和你们的图兰极值结构在连续变形下的同调群变化,是同一个数学现象在两种语言里的表达。”

粉笔在黑板上快速移动,他的推导速度极快,每一步都跳了好几个台阶,只在最关键的转折处停下来写一个公式。

陆沉跟得很紧,前世的论文阅读和重生后的课题积累在这一刻汇成了同一条流——萨纳克在随机矩阵的谱分布里看到的是量子混沌和能级间距,他在同一个公式里看到的是极值图在随机扰动下的稳定性边界。

两个人从黑板的两端同时往中间推,推到某个交叉点时,萨纳克忽然停下来,看着陆沉刚补上的一行公式。

“这一步,你怎么想到的?”

“从群表示论的角度,我们把图的邻接矩阵特征值分布和同调群的贝蒂数联系起来,中间需要一座桥——群表示的正交关系恰好能提供这座桥,何巍在这个方向上打过一个引理。”

萨纳克沉默了一瞬,然后走到办公桌前,从抽屉里拿出一份手稿。

手稿很厚,稿纸边角毛糙,上面是他的笔迹——和写在复合图简报上的批注一样细密而锋利。

他翻到中间一页,上面是两个并排的图:左边是一个拉姆齐图的谱分布,右边是一个复形同调群的贝蒂数图表。

他在两个图之间画了一个箭头,箭头上方打了一个问号。

“这个问号,我画了将近一年,”他把手稿放在陆沉面前,“你刚才的推导,在这个问号上画了一条线。”

他退后一步,靠在办公桌边沿,抱起双臂看着黑板。

“在我见过的搞数学的人里,有两种人,一种人看到一个难题,会说‘这不可能’;另一种人看到同一个难题,会说‘这需要新语言’,你属于后者。”

他走到黑板前,拿起粉笔在刚才那两个圆圈的环形区域里写下一个新的引理编号——引理7,旁边标注:极值组合与代数拓扑之间的谱桥梁。

“这个引理,你回去以后能完成吗?”

陆沉看着黑板上那个编号。

“一个引理不够,从谱序列收敛性到随机矩阵谱分布,跨度太长,拆成三个引理——引理7a处理单纯复形到拉普拉斯矩阵的映射,引理7b处理随机扰动下的谱稳定性,引理7c做极值估计。”

他在便签本上把三个引理的结构画出来,然后撕下这一页递给萨纳克。

萨纳克接过便签纸,低头看了很久,然后把它夹进那份手稿的问号那一页。

他的手指在纸页边缘停了一下,像在把什么东西轻轻按实。

“你知道你刚才做了什么吗?”他把手稿放回抽屉里,“你用三分钟,画出了我花了十一个月没画完的东西。”

中午,萨纳克请陆沉和戴维在研究院的小餐厅吃饭。

小餐厅在富尔德楼一楼,窗外是庭院里几棵光秃秃的橡树。

二月阳光从铅灰色云层的缝隙里漏下来,在桌布上投下淡淡的光斑。

萨纳克切开一块煎三文鱼,刀叉使得很慢,像是在用解剖数学问题的精度处理食物。

吃了几口之后他放下刀叉,擦了擦嘴角。

“1990年国际数学家大会,我听到你关于图兰定理扩展形式的证明时,我就觉得这个方向不对——不是说你不对,是说整个极值图论这几十年的路数不对,所有人都在用概率方法、存在性证明,没有人试图把构造性框架建立起来,你去年在海德堡做的那份证明算是把路给打了个样,你的课题组这一年来干的活——把图兰构造性算法和编码理论连接起来,把群表示论和组合数学打通——每一步都踩在同一个方向上,这个方向,我们错过了一代人。”

他把餐巾放在桌上。

“我二十四岁那年证明了拉姆齐数的一个下界,用的是纯组合方法,埃尔德什看到以后给我写了封信,只有一句话——你找到了正确的路,但你一个人走不远。

我当时不太明白他的意思,后来我才知道,他说的是:真正的大框架,是世代工程,一个人只能开个头,要好几代数学家前赴后继地接过来推下去。”

他端起水杯看着窗外光秃秃的橡树,枯枝在风里轻轻摇晃。

“但你不一样,你不是一个人,你的课题组有七八个人,最大的比你大十几岁,但你们一起把这东西推到了这一步,你们用一年时间走完了我们这一代用十年才走完的路。”